堆排序前传 - 树与二叉树
树
-
树是一种数据结构
-
树是一种可以递归定义的数据结构
-
树是由几个节点组成的集合
- 如果n=0，那这是一棵空树；
- 如果n>0，那存在1个节点作为树的根节点，其他节点可以分为m个集合，每个集合本身又是一棵树。
-
一些概念
- 根节点、叶子节点
- 树的深度（高度）
- 树的度
- 孩子节点/父节点
- 子树
二叉树
-
二叉树：度不超过2的树
-
每个节点最多有两个孩子节点
-
两个孩子节点被区分为左孩子节点和右孩子节点
完全二叉树
-
满二叉树：一个二叉树，如果每个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
-
完全二叉树：叶节点只能出现在最下和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树。
二叉树的存储方式
-
二叉树的存储方式（表示方式）
- 链式存储方式
- 顺序存储方式
二叉树的顺序存储方式
如图所示
-
父节点和左孩子节点的编号下标有什么关系？
- 0-1 1-3 2-5 3-7 4-9
- i->2i+1
-
父节点和右孩子节点的编号下标有什么关系？
- 0-2 1-4 2-6 3-8 4-10
- i->2i+2
堆排序
什么是堆
-
堆：一种特殊的完全二叉树结构
- 大根堆：一棵完全二叉树，满足任一节点都比其孩子节点大
- 小根堆：一棵完全二叉树，满足任一节点都比其孩子节点小
堆的向下调整性质
-
假设根节点的左右子树都是堆，但根节点不满足堆的性质
-
可以通过一次向下的调整来将其变成一个堆
堆排序过程
-
1.建立堆
-
2.得到堆顶元素，为最大元素
-
3.去掉堆顶，将堆最后一个元素放到堆顶，此时可通过一次调整重新使堆有序
-
4.堆顶元素为第二大元素
-
5.重复步骤3，直到堆变空
代码示例：
def sift(li,low,high):
# li：列表
# low：堆的根节点位置
# high：堆的最后一个元素的位置
i = low # i最开始指向根节点
j = 2 * i + 1 # j开始是左孩子
tmp = li[low] # 把堆顶存起来
while j <= high: # 只要j位置有数
if j + 1 <= high and li[j+1] > li[j]: # 如果右孩子有并且比较大
j = j + 1 # j指向右孩子
if li[j] > tmp:
li[i] = li[j]
i = j # 往下看一层
j = 2 * i + 1
else: # tmp更大，把tmp放到i的位置上
li[i] = tmp # 把tmp放到某一级领导位置上
break
else:
li[i] = tmp # 把tmp放到叶子节点上
def heap_sort(li):
n = len(li)
for i in range((n-2)//2,-1,-1):
# i表示建堆的时候调整的部分的根下标
sift(li,i,n-1)
# 建堆完成了
for i in range(n-1,-1,-1):
# i指向当前堆的最后一个元素
li[0], li[i] = li[i], li[0]
sift(li,0,i-1) # i-1是新的high-
时间复杂度：O(nlogn)
内置模块
-
python内置模块–heapq
-
常用函数
- heapify(x)
- heappush(heap,item)
- heappop(heap)
代码示例：
import heapq
import random
li = list(range(100))
random.shuffle(li)
print(li)
heapq.heapify(li) # 建堆
n = len(li)
for i in range(n):
print(heapq.heappop(li),end=',')topk问题
-
现在有n个数，设计算法得到前k大的数。（k<n）
-
解决思路：
- 排序后切片 O(nlogn)
- 冒泡排序 选择排序 插入排序 O(mn)
- 堆排序思路 O(mlogn)
堆排序解决思路：
- 取列表前k个元素建立一个小根堆。堆顶就是目前第k大的数
- 依次向后遍历原列表，对于列表中的元素，如果小于堆顶，则忽略该元素；如果大于堆顶，则将堆顶更换为该元素，并且对堆进行一次调整
- 遍历列表所有元素后，倒序弹出堆顶
代码示例：
def sift(li,low,high):
# li：列表
# low：堆的根节点位置
# high：堆的最后一个元素的位置
i = low # i最开始指向根节点
j = 2 * i + 1 # j开始是左孩子
tmp = li[low] # 把堆顶存起来
while j <= high: # 只要j位置有数
if j + 1 <= high and li[j+1] < li[j]:
j = j + 1 # j指向右孩子
if li[j] < tmp:
li[i] = li[j]
i = j # 往下看一层
j = 2 * i + 1
else: # tmp更大，把tmp放到i的位置上
li[i] = tmp # 把tmp放到某一级领导位置上
break
else:
li[i] = tmp # 把tmp放到叶子节点上
def topk(li,k):
heap = li[0:k]
for i in range((k-2)//2, -1, -1):
sift(heap,i,k-1)
# 1.建堆
for i in range(k,len(li)-1):
if li[i] > heap[0]:
heap[0] = li[i]
sift(heap,0,k-1)
# 2.遍历
for i in range(k-1, -1, -1):
li[0], li[i] = li[i], li[0]
sift(li,0,i-1)
# 3.出数
return heap
# 测试
import random
li = list(range(1000))
random.shuffle(li)
print(topk(li,10))